martes, 28 de mayo de 2013

Módulos y redes.



Guión.

Introducción.

1. Módulos y redes. concepto.

1.2. Concepto de estructura.
1.3. El canon.
1. Canon de perfil de los antiguos egipcios.
2. El canon de los escultores griegos del siglo V a. C.
1.4. Concepto de red.
1. Redes planas.
2. Redes espaciales.
1.5. La malla.
1. Redes y mallas.
1.6. Módulos,  mosaicos y redes en la naturaleza.
Estructuras modulares naturales
Mundo orgánico e inorgánico
1. Módulos en el mundo orgánico
2. Módulos en el mundo inorgánico.
1.7. Estrategias de composición modular.
1. La tensión.
2. Los submódulos y súper módulos.
3. Diferente forma, color, textura.
4. Combinaciones
5. Distorsiones.
6. Ambigüedad figura – fondo.
7. Mezcla de redes.
1.8. Aplicaciones de la teoría modular en las artes visuales.

2. Relaciones entre la estructura y la proporción en la creación de formas bidimensionales y tridimensionales.

2.1. La razón
2.2. La proporción.
A. La igualdad.
B. Semejanza, homotecia y escala.

C. La proporción áurea.
2.3. Rectángulos irracionales.
2.4. Proporción cordobesa, el rectángulo 4/3.
2.5. Le Modulor de Le Corbusier.
2.6. Las simetrías.
1. Traslación.
2. Reflexión.
3. Giro.
4. Desplazamiento.
5. Identidad.

2.7. Interacciones formales.
1. Distanciamiento.
2. Toque. Contacto.
3. Superposición.
4. Penetración.
5. Unión.
6. Sustracción.
7. Intersección.
8. Coincidencia.

2.8. Estructuras modulares bidimensionales.
1. Coordinación modular bidimensional
Módulos simples planos.
A. El cuadrado:  
B. El triángulo equilátero:
C. El hexágono:
D. El rombo:
E. La circunferencia:
F. El supermódulo.

2. Coordinación modular bidimensional
Módulos compuestos planos.

2.9. Estructuras modulares tridimensionales.
Coordinación modular tridimensional
A. La forma.
B. La imagen.
C. La figura.
D. Estructuras.
1. Módulos simples tridimensionales.
A. El cubo
B. El prisma.
C. Cuboctaedro.
D. Octaedro truncado, tetracaidecaedro, o poliedro de Lord Kelvin.
E. Rombododecaedro, o dodecaedro rómbico.
2. Módulos compuestos tridimensionales.
A. Cuboctaedro y octaedro
B. Cubo truncado u octaedro.
2.10. El Mosaico.
1. Mosaicos formados por una sola tesela y que sea un polígono regular.
A. El cuadrado.          
B. El triángulo equilátero.
C. El hexágono regular.
2. Mosaicos formados por dos  tesela y que sean polígonos regulares.
E. Triángulo y hexágono.
F. Octógono y cuadrado.
G. Dodecágono y triángulo
H. Hexágono, cuadrado y triángulo.
I. Hexágono, cuadrado y dodecágono
J. Cuadrado y triángulo
K. Hexágono y triángulo
L. Cuadrado y triángulo
3. Polígonos no regulares que rellenan el plano.
4. Mosaicos por deformaciones de los polígonos.

3. Estructuras modulares artificiales. Aplicaciones en el arte.
Ejemplos de estructures modulares artificiales.

Resumen

Preguntas de autoevaluación.

Bibliografía.

Bibliografía comentada.








Introducción.
El dibujo técnico es un lenguaje visual universal que permite expresar ideas objetivamente. Parte del dibujo técnico está sustentado en la geometría que es una rama de la matemática. Un concepto al mismo tiempo de matemática y de dibujo es el módulo. Una figura que se repite es una módulo. Desde la antigüedad los creadores visuales han tomado el  concepto de módulo para realizar composiciones, repitiendo una misma figura hasta el infinito. Estas obras se las ha llamado composiciones modulares. Las redes son las líneas geométricas sobre las que se ordenan los módulos. La creatividad del ser humano intuyó que a los módulos se les puede transformar mediante giros, traslaciones, aumentos, disminuciones y varias simetrías, lo que permitió una mayor riqueza y expresividad de las composiciones modulares. Las aplicaciones prácticas son abundantes, pavimentos, alicatados, cenefas, tapices, tejidos, bordados,… Durante el siglo XX los artistas cogieron las ideas del módulo de la artesanía para trasladarlo a composiciones de mayor envergadura, y el diseño gráfico moderno también se ha servido en el.
Este tema hará un recorrido desde el módulo, la red, las estructuras modulares y sus relaciones de proporcionalidad, entendida en las creaciones bidimensionales y tridimensionales.






1. Módulos y redes. concepto.
El módulo en matemática es un número que se usa en comparación con otros y se toma arbitrariamente como unidad. Por extensión en artes visuales, se entiende que es una dimensión que se toma como unidad de medida, norma, modelo o patrón La acepción más conocida del módulo es como parte de un todo que se utiliza como unidad en una construcción, para establecer las dimensiones y proporciones de un conjunto. Por ejemplo: la arquitectura utiliza un módulo como medida, para realizar todas las dimensiones del edificio. En la arquitectura clásica, el módulo era la medida del radio del fuste de la columna en su parte inferior. Son módulos célebres:
El Módulo vitruviano; el módulo de Policleto, que toma la cabeza humana; el módulo de Le Corbusier, que utiliza el cuerpo humano en sección áurea; el módulo Hele de Rafael Leoz, un módulo con forma de ele, formada por cuatro cubos.




Otra acepción en artes visuales es que el módulo es la forma elemental que se repite múltiples veces y llega a llenar el espacio bidimensional o tridimensional. Por ejemplo: el diseño modular utiliza una parte que se repite, es autónoma y se puede intercambiar para realizar un diseño.




La aplicación práctica del módulo más conocido son los mosaicos. Los polígonos regulares pueden formar un mosaico periódico si repetimos una forma poligonal como módulo. Sólo hay tres polígonos que con la misma loseta puedan cerrar un espacio plano sin dejar huecos son: el triángulo equilátero, el cuadrado, y el hexágono regular.






En la historia del arte han sido muchas las aplicaciones del módulo para realiza composiciones, como:


Las Teselas en los mosaicos romanos, hechos de pequeñas piezas en forma de cubo, de mármol, vidrio o pasta, para realizar los pavimentos. Los azulejos de la Alhambra de  Granada, ladrillos vidriados, pequeños de colores para revestir paredes de cocinas y baños. Baldosas, cerámicas y losas en los recubrimientos de Antonio Gaudí que  utiliza el hexágono regular en el suelo del Paseo de Gracia de Barcelona.



Mosaico de la Alhambra de Granada. Arte nazarí.

Mosaicos de San Vital de Rávena.

Módulos
Figura elemental geométrica u orgánica que se repite

  

Módulo blanco y negro.









  
Triángulo equilátero. Módulo y red de triángulos equiláteros, que forma hexágonos regulares



Red
La red consta de filas  y columnas de módulos 
y  recubre el plano o el  espacio




Super módulo.
La combinación de diversos módulos básicos forma un figura compleja llamada super módulo.

Red de cuadrados con el dibujo de una hoja que forma un super modulo para componer el mosaico de la hoja de la Alhambra de Granada.




1.2. Concepto de estructura.
Un módulo es la unidad más pequeña que organiza una estructura, también es el elemento que estructura la forma. Un sinónimo en matemáticas sería el múltiplo. La suma de la unidad  modular da lugar  a otras mayores. Un conjunto de módulos dan lugar a la estructura que es la relación que mantienen entre sí las partes de un todo. Las partes son individuales pero al mismo tiempo interdependientes. En artes visuales es el modo de organizar las partes de un conjunto. Los módulos repetidos se combinan dando lugar a una estructura de tipo geométrico, y en el todo pueden aparecer conceptos como proporción, ritmo y movimiento.

Ejemplos sería la estructura atómica de los elementos, o la estructura ósea, o en construcción arquitectónica o ingeniería la estructura es el armazón que soporta una obra. Por ejemplo, la estructura de un puente reticulado, como el viaducto de Trenton, sobre el río Delaware, 1804-06 con cerchas Pratt, de Theodore Burr.


Estructura

Estructura (Esqueleto), características invariables..
Formas organizadas con otras formas, creadas (naturales) o construidas (artificiales). Repetición de  un modulo 2D o 3D.


    



1.3. El canon.
La escultura de la misma forma que la arquitectura ha tomado el concepto de módulo como una parte de la totalidad que se utiliza para proporcionarla. Así, escultores de la antigüedad, para proporcionar el cuerpo humano utilizaron como unidad de medida alguna parte del cuerpo. Este es el nuevo concepto conocido como  “canon”, que es regla, medida, modelo, y  es equiparable al módulo en arquitectura que regula todas las partes de la obra. El concepto de canon se utiliza para expresar el conjunto de normas que hay en la proporción y la simetría en artes visuales tridimensionales, y en concreto se refiere a las obras del mundo clásico griego y romano. En arquitectura el canon está relacionado con los antiguos órdenes arquitectónicos griegos.

1. Canon de perfil de los antiguos egipcios.
El canon de los antiguos egipcios se refiere a la representación de la cabeza, brazos y piernas de perfil, mientras que hombros y tronco se representaban de frente. El módulo era tomado con la anchura de la mano, el brazo y el puño cerrado, y el codo. El cuerpo humano se representaba con un módulo de 18 a 21 puños dependiendo de la época.


  


2. El canon de los escultores griegos del siglo V a. C.
Los escultores griegos del siglo V a. C. utilizaron cánones de proporción, por ejemplo el canon de Policleto.
La medida del canon de Policleto era la cabeza y estaba contenida unas siete veces y media dentro del cuerpo.


  
Policleto de Argos, obra del Diadúmeno. Canon de !/7 cabezas

Policleto de Argos, obra El Doríforo. Canon de !/7 cabezas


Posteriormente este módulo se amplio a ocho cabezas con Lisipo en la estatua Apoxiomeno; y ocho y media con el artista Leócares en su obra el Apolo del Belvedere.
Los cánones se retoman por Leonardo da Vinci, Alberto Durero y León Battista Alberti en el Renacimiento italiano.


Lisipo, escultura del Apoxiomeno. Canon de 1/8 cabezas
Leócares, obra del Apolo del Belvedere. Canon de 1/ 8,5 cabezas

Miguel Ángel. Obra David, 1501 - 1504
siguiendo los cánones de la escultura grecolatina



Alberto Durero. Pintura de Eva 1507. Canon de 1/9 cabezas




1.4. Concepto de red.
La red es un conjunto estructurado de módulos y conectados entre sí, con un patrón característico.
La red permite superponer, organizar, circular, o componer elementos o formas. Es la manera más sencilla de dividir el espacio con una regularidad, por ejemplo con estructuras de polígonos, como un papel milimetrado o isométrico.
La red en un plano consta de filas  y columnas de módulos que lo recubre. La intersección de los módulos de la red se llama nodos. El  espacio también se puede organizar en módulos como las celdas en cristalografía. El apilamiento de los cristales minerales es un ejemplo de redes espaciales.




1. Redes planas.
Dentro del campo del dibujo es un buen ejemplo de red el papel milimetrado y el papel isométrico que proporcionan una base para componer dibujos. A modo de analogía podemos ejemplificar las redes en las porterías de fútbol.





2. Redes espaciales.
La proyección tridimensional de las redes planas se transforma en redes tridimensionales.

1.5. La malla.
En una tipología en malla cada nodo tiene una conexión con todos los nodos de la red, además la malla es una red que no deja espacios huecos en su estructura. La retícula en malla puede ser bidimensional o tridimensional, permite la localización y ubicación de puntos y de figuras.

1. Redes y mallas.
Las redes y mallas pueden ser simples, cuando su estructura consta de un solo polígono y compuestas, cuando están formadas por dos o más polígonos


1.6. Módulos,  mosaicos y redes en la naturaleza.
Estructuras modulares naturales
Mundo orgánico e inorgánico
La naturaleza que es la mejor constructora utiliza con frecuencia módulos y estructuras modulares orgánicas.
Los vegetales y animales han evolucionado con módulos básicos que se repiten y crean una estructura.
También se dan casos donde son los propios seres vivos los que crean el módulo y la estructura, como construcciones exteriores a su cuerpo. El ejemplo más paradigmático son las celdas hexagonales de los panales de las abejas. Las abejas solucionaron el problema de una superficie de máximo volumen con el mínimo de superficie hace mucho tiempo. Algunos ejemplos macroscópicos y microscópicos de la utilización del módulo en la naturaleza serían los siguientes:

1. Módulos en el mundo orgánico
Las escamas en los reptiles, serpientes, lagartos, iguanas,…
Los caparazones de las tortugas.
Las casillas de las colmenas.            
Los ojo de los insectos, como el ojo de una mosca.
Las alas de las mariposas.
Los granos de maíz en la mazorca de maíz.
Los racimos de las uvas.
El pelaje sobre algunos mamíferos, por ejemplo la jirafa y su retícula irregular.
El módulo de los gusanos.
La forma natural de un radiolario. 


  






2. Módulos en el mundo inorgánico.
Las redes espaciales en los cristales minerales.
Las redes espaciales de una sustancia cristalina se obtiene por repetición de la celda unidad.
La estructura atómico de los elementos químicos como el carbono
La redes de Bravais en mineralogía.


1.7. Estrategias de composición modular.
Cuando se realiza una composición modular es posible crear mayor interés visual con algunas estrategias como:

1. La tensión.
La tensión se puede agudizar si el módulo es irregular o curvado.

2. Los submódulos y súper módulos.
La combinación de diversos módulos básicos o submódulos forman una figura más compleja llamada súper módulo.

3. Diferente forma, color, textura.
El color, forma y textura diversa pueden dar un interés visual a la composición.

4. Combinaciones
Los módulos se pueden combinar para añadir interés y crear ritmo en la composición, algunas de estas composiciones serían: combinar módulos rectos y curvos, ordenarlos con forma espiral, circular, sinuosidad, zigzagueante,…Los módulos también se pueden disponer con  giros, superposiciones, tocamientos, alternancias, simetrías…

5. Distorsiones.
El módulo se puede distorsionar mediante las transformaciones geométricas. Un módulo origen se distorsiona y cambia de forma en la composición, por homotecia, afinidad, u  homología, el objetivo final es desarrollar la expresividad.

6. Ambigüedad figura – fondo.
Trabajar la ambigüedad de la figura y fondo da resultados interesantes para jugar con la percepción.

7. Mezcla de redes.
La combinación de redes de diferentes tipos proporciona resultados poco comunes que atraen la atención al espectador.


1.8. Aplicaciones de la teoría modular en las artes visuales.
El movimiento artístico como el Op Art, utiliza submódulos para dar impresión de tridimensionalidad sobre la superficie plana. Artistas que en sus creaciones han utilizados los módulos son: Víctor Vasarely y Maurits Cornelis Escher, los mosaicos creativos de Escher son célebres. Piet Mondrian crea composiciones con cuadrados y colores puros. El pintor alemán Paul Klee, compone acuarelas con módulos y puntos de color, que tienden a la abstracción. En España el escultor Eusebio Sempere con una obra abstracta de repeticiones geométricas es un buen ejemplo, o Andreu Alfaro Hernández que aplica sus principios geométricos a obras abstractas por repetición de un módulo.






2. Relaciones entre la estructura y la proporción en la creación de formas bidimensionales y tridimensionales.
Los módulos son formas geométricas con unas magnitudes y tamaños en sus lados. Estas formas al relacionarse con otras interactúan estableciendo relaciones de proporción. La proporción es la relación que hay entre las partes y el todo. Al establecer correspondencias y comparaciones con los módulos la percepción casi de forma intuitiva nos informa de su armonía. La relación entre las cosas en arte tiene importancia porque es el medio de crear unidad dentro de la diversidad.

La proporción es un concepto que se ha utilizado en todas las artes visuales y en todas la historia del arte, para buscar belleza. Una de las concepciones más influyentes ha sido la belleza como proporción matemática que lleva a Pitágoras y los pitagóricos a los números. Los seres existen a imitación de los números. Los principios de las matemáticas son los principios de los seres reales, y los números son la naturaleza del Universo. Los pitagóricos asignaron  un número a cada cosa y se preguntaron de donde procedían los números que es como plantear de donde proceden los seres reales. Los números son eternos e inamovibles y “todas las cosas son números “. Los comportamientos y propiedades de los seres reales del universo pueden describirse mediante números. La ciencia se ha aprovechado de este supuesto pitagórico y lo ha corroborado.
Las derivaciones prácticas de estas ideas tuvieron su aplicación en manifestaciones artísticas, con respecto al cuerpo humano y su representación,  la concreción de cánones de proporción basados en números.

 Además de utilizar la proporción en los cánones de proporcionalidad del cuerpo humano, se aplicó a la arquitectura con el diseño de los edificios según un módulo base. Los tipos arquitectónicos griegos utilizan el radio del tambor de una columna que sirve de módulo para su altura.

El módulo es la unidad más pequeña que organiza una estructura, también es el elemento que estructura la forma. La suma de la unidad  modular da lugar a una estructura mayor.  La estructura es la relación que mantienen entre sí las partes con el todo. Las partes son individuales pero al mismo tiempo interdependientes, esta conexión puede venir determinada por relaciones de proporcionalidad. 
Los módulos repetidos se combinan dando lugar a una estructura de tipo geométrico bidimensional o tridimensional como se ha estudiado anteriormente. A continuación, se enumerarán estas conexiones proporcionales. Para comprender las relaciones de proporcionalidad entre los módulos definiremos algunos términos fundamentales como: la razón, la proporción y la igualdad; para después estudiar las relaciones de proporcionalidad como: la semejanza, la homotecia, la  escala, la  proporción áurea,  los rectángulos irracionales, la proporción cordobesa, y las simetrías.


2.1. La razón
La razón es la comparación de dos cantidades.
La razón entre dos segmentos es el vínculo que existe entre ellos, como se relacionan
Es la relación entre dos partes, puede haber una razón aritmética y una razón geométrica:

La razón aritmética o por diferencia:
Es la diferencia de las dos cantidades, por ejemplo  6 es a 4, o también  6 – 4.

Visto de modo gráfico quedaría así: la razón entre el segmento A y el segmento B es de 6-4

A = 6
B = 4

La misma razón vista con módulos cuadrados.





La razón  geométrica o por cociente:
Es el cociente de las dos cantidades, por ejemplo,  6 / 4


2.2. La proporción.
La proporción es una relación entre razones, es una combinación o correlación entre dos o más razones, por ejemplo expresado de modo matemático:
2/1 = 4/2 = 8/4 = 16/8 = 32/16
De modo gráfico queda dibujado así:


A = 2
B = 4
C = 8

Dicho de otro modo es una conservación de la razón.

A. La igualdad.
Una forma es igual a otra cuando su forma y tamaño son iguales. Al superponerse coinciden los vértices y las aristas. Si establecemos una razón de proporcionalidad observaemos que su cociente es uno.
Una forma igual a otra se ha utilizado en artes visuales como módulos para los mosaicos y la decoración. La aplicación a las figuras iguales de transformaciones geométricas como el giro, la traslación, las simetrías radiales, puntuales y por desplazamiento son los fundamentos de los mosaicos.




B. Semejanza, homotecia y escala.
Dos formas del mismo tipo si tienen una proporción idéntica se llaman semejantes. Las figuras semejantes tienen la misma forma pero distinto tamaño, los segmentos son proporcionales y los ángulos son iguales, y su razón de semejanza es igual. A las figuras homotéticas si se les aplica una rotación o una simetría axial se dice que son semejantes, tienen la misma forma pero orientadas de forma distinta.
La semejanza en definitiva es una consecuencia de la homotecia, es decir: el fenómeno proyectivo donde un vértice de radiación de punto propio, proyecta una forma contenida en un plano original en otro plano paralelo. La figura transformada es semejante a la original pero de mayor tamaño. Por extensión, se está realizando una escala, entre la figura original y la transformada o dibujada, hay una relación proporcional. En dibujo, la escala se expresa con un cociente, donde el numerador representa el dibujo, y el denominador la realidad, por ejemplo: Escala: 1/ 2 que indica que el dibujo es la mitad que el original.





La semejanza es la base de las cuadrículas (módulo cuadrado) para realizar ampliaciones o reducciones de dibujos, planos, o mapas. Esta construcción garantiza la proporcionalidad de los segmentos. Un plano es una figura semejante al terreno o edificio original, proyectado sobre una pauta modular y a una escala determinada.


C. La proporción áurea.
La belleza como armonía y  proporción de las partes, que derivó de Pitágoras no se olvidó con el transcurso de los siglos. Áurea es un adjetivo derivado de oro, el material precioso por excelencia. La proporción áurea es recogida por Euclides, c. 325 - 265 a. C. en su libro Los Elementos, donde la expresa como la división de un segmento en media y extrema razón. Leonardo de Pisa, llamado, Fibonacci, 1170 – 1250, escribió Del Liber abaci, 1202, donde aparece su célebre progresión o  serie de Fibonacci. Aquí se encuentra la famosa proporción áurea: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,... que si la expresamos en quebrados queda de la siguiente forma: 1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89, 89/144, 144/233,... = K = Ф = 0,618,... ∞. El número áureo, o número de oro, es la razón de proporción de la  Ф = 0,618,… ∞ . Este número se había utilizado en las composiciones de las obras artísticas y que aparece en la naturaleza, por aproximación.
Luca Paccioli, 1445 – 1517 escribe el primer tratado sobre esta célebre progresión, De la Divina Proporción, escrito sobre el 1496 -1498, que recordando a Pitágoras, retoma la proporción, que tanto influencia ha tenido en el arte, las matemáticas, la estética y la mística. 





El propósito de buscar la belleza en arte continúa, la belleza terrenal y la belleza celestial. Los dibujos que apareen en el libro son creación de Leonardo da Vinci. Paccioli en De la Divina Proporción relaciona la sección áurea, los principios de la arquitectura y el cuerpo humano, su influencia en las artes fue considerable en los siglos venideros. Le Corbusier la vuelve a investigar y escribe el Le Modulor, en 1950-1955.
La proporción áurea es la única que es al mismo tiempo aritmética y geométrica. Cada término es la suma de los dos anteriores, y es media proporcional entre el anterior y el siguiente.
Desde un punto de vista gráfico la proporción áurea sería esta relación: 8, 5, 3.


A =3
B = 5
C = 8


El segmento grande es la suma de los otros dos segmentos pequeños;  el grande es 8, los pequeños son 5, 3. Tenemos tres segmentos: el total que es 8; el mayor que es 5 y el menor que es 3. El segmento total es al segmento mayor, como el mayor es al segmento menor. La relación entre o razón entre los segmentos es el número de oro, que se designa con la letra griega Φ “fi”, 8/5 = Φ  y  5/3 = Φ.




A =3
B = 5
C = 8

Lo importante no son los segmentos sino la relación que existe entre ellos. Esta relación produce un placer estético  al haber un vínculo oculto común a los tres segmentos. Este encuentro entre iguales pero distintos, es el secreto de la proporción, la unidad dentro de la diversidad. La progresión de Fibonacci, ejemplifica que los términos son iguales pero diversos.

Rectángulo áureo. Número de oro  Φ .
Una de las formas más utilizadas para encontrar la proporción áurea y el número de oro es construirla a partir del rectángulo áureo. Se inicia a partir de un cuadrado base. Se dibuja su mitad. La diagonal de uno de los rectángulos mitad, se abate esta diagonal sobre la prolongación de la base. El punto de intersección del abatimiento determina el lado mayor del rectángulo, el lado menor es el del cuadrado origen.



 
Paso número 1                   Paso número 2  

Paso número 3

                 
Si comprobamos las razón entre los dos lados del rectángulos se comprueba que están en proporción áurea.



a / b  = a + b / a

8/ 5 = 13 / 8   = 0,16...∞ 

          
Φ = 0,161803 39887  49894  84820  45868  34365  63811  77203  09179  80576,... ∞ 

Φ = 0,61803 39887  49894  84820  45868  34365  63811  77203  09179  80576,... ∞

La conexión con el tema de los módulos es que el rectángulo áureo se ha utilizado como módulo en las creaciones de las obras de arte, y sus divisiones armónicas proporcionan rectángulos semejantes utilizados en la composición de motivos artísticos. He aquí algunas divisiones armónicas del rectángulo áureo.


                


2.3. Rectángulos irracionales.
Si consideramos que un módulo es la unidad más pequeña que organiza una estructura. El módulo elemental es el cuadrado donde la  razón entre sus lados es 1/1 = 1. La diagonal del cuadrado vale  2   Si aplicamos el teorema de Pitágoras: 1 + 1 2  = C 2  podemos averiguar el valor de la diagonal del cuadrado: 1   + 1  =  C 2. Donde la hipotenusa C   =   2   = 1,4142135,... ∞. 



El cuadrado al mismo tiempo es un racional e irracional, o dinámico y estático, porque tiene razón 1 y diagonal irracional 2.    Si abatimos la diagonal del cuadrado sobre su base podemos ampliar su forma hasta conseguir un rectángulo. Este nuevo rectángulo tiene por lados 1 y 2   , por este motivo se llama rectángulo 2  . Un rectángulo irracional es aquel que tiene como razón un número irracional. Las aplicaciones de los rectángulos irracionales en la historia del arte han sido: las proporciones de los órdenes clásicos, plantas de templos, arquitectura modulada como las plantas de iglesias y catedrales, los palacios renacentistas modulados como el Pacio Ruccellai de Alberti, los mosaicos,…


                          
Cuadrado            Rectángulo   √2 = 1,4142135,... ∞     



                  Rectángulo   √3


        
Rectángulo   √4                            



Rectángulo   √5                         



Rectángulo   √6

Rectángulos irracionales.




2.4. Proporción cordobesa, el rectángulo 4/3.
La proporción cordobesa es propia de un rectángulo donde la razón de sus lados es 1,3. El rectángulo tiene la razón de proporción 4/3, relación que se establece entre el radio y lado de un octágono. El arquitecto Rafael de la Hoz Arderius, estudió la arquitectura árabe de Córdoba y su hipótesis es que aparecía lo que se ha llamado la proporción cordobesa o rectángulo 4/3  = 1´3, y el número cordobés que es igual a  1,306562964,... .
El radio y lado de un octágono están en proporción 4/3, como los diseños árabes se basan en cuadrados y octógonos, esta proporción es una ampliación del cuadrado. La proporción 4/3  se puede localizar en : las bóvedas cordobesas, las arcadas de la mezquita de Córdoba, el  cimborrio de la Catedral de Burgos, las cúpulas bizantinas,…


 


Otras aplicaciones prácticas del módulo y la proporción son las retículas en el diseño editorial.
Un módulo base  cuadrado o rectangular se repite y establece una proporcionalidad con el formato, la caja de texto, y los márgenes.

       



2.5. Le Modulor de Le Corbusier.
Una de las preocupaciones de Le Corbusier fue la modulación. Le Modulor, de 1949, fue creado para ser un sistema de medidas, para la normalización e industrialización. 




Se construyó con base a la medida humana, tomando como base la progresión de Fibonacci y de la sección áurea. Se parte de un ser humano-modulo de 1,83 metros (6 pies) donde esta presente la sección áurea 1,83 = 0,70 + 1,13, de donde se deducen otras proporciones áureas: 0,... 0,27, 0,43, 0,70, 1,13, 1,83, ... ∞   A esta progresión la llamó la serie roja.




Si el ser humano levanta el brazo hasta la altura de 2,26 m. tenemos  el doble de 1,13 m. O la construcción de un doble cuadrado. Así se forma otra serie: 0,... 0,32, 0,54, 0,86, 1,40, 2,26,... ∞, a esta nueva progresión le llamó azul. De estas dos series se obtienen las medidas de el Le Modulor, que dan una gran posibilidad  de combinaciones al insertar al ser humano en los espacios arquitectónicos, y ergonómicos.




2.6. Las simetrías.
La simetría establece una concordancia de unas partes con otras y de las partes con el todo.
Un módulo está sometido a movimientos en el plano, si le asociamos fenómenos físicos como la traslación, la reflexión, el giro, el desplazamiento y la identidad, se obtienen simetrías.

La simetría suele tener dos acepciones, una es la de proporción y equilibrio; otra la relación entre las parte que integran un todo. Una módulo contenido en un plano puede cambiar de posición por diferentes movimientos. La primera posición del módulo se le llama la posición inicial u original, una vez aplicado el movimiento se le transforma en la imagen o posición final. Si tenemos en cuenta un módulo algunas de las posibilidades de simetrías aplicando movimientos en el plano serían las siguientes:

1. Traslación.
La simetría por translación, desplaza el módulo en una dirección y a una distancia limitada. El módulo queda repetido con la misma orientación. La dirección de desplazamiento es la dirección de traslación.

2. Reflexión.
La simetría por reflexión o simetría axial, el módulo rota 180º con respecto a un eje de simetría. El módulo se separa del plano y vuelve a él mediante una semirotación, alrededor de la recta fija de giro. El módulo queda invertido y desplazado a la misma distancia con respecto al eje. Es la simetría propia de la hoja de los libros, y se encuentra en la mayoría de  seres vivos.

3. Giro.
La simetría por Giro, el módulo contenido en un plano rota a partir de un punto fijo determinado, llamado centro de giro, y el ángulo de giro que limita la rotación puede ser dextrógiro o levógiro
La simetría radial es cuando la rotación puede ser incompleta, por ejemplo un ángulo de 72º, que al repetirse 360 º produce una simetría radial. Por ejemplo la simetría de la estrella de mar.
La simetría central: es cuando hay una rotación con un ángulo de giro llano, entonces recibe le nombre de simetría central.

4. Desplazamiento.
(Translación + Reflexión)
La simetría por desplazamiento, el módulo tiene al mismo tiempo un movimiento de traslación y de reflexión.
Se produce un desplazamiento con simetría, de la misma forma que los pies al caminar.

5. Identidad.
La simetría por identidad resulta de la superposición sobre sí mismo del módulo al producirse una rotación total de 360º sobre su propio eje.


2.7. Interacciones formales.
Los módulos al estar unidos tienen una influencia recíproca. En el campo de la composición modular la interacción de dos módulos puede ser por: distanciamiento, toque, superposición, penetración, unión sustracción, intersección y coincidencia. Estas interacciones permiten apreciar aspectos como: cerca y lejos; delante y detrás; encima y debajo.

Módulos dados :   

1. Distanciamiento.
Existe un distanciamiento entre los módulos en el espacio.

2. Toque. Contacto.
La proximidad entre los dos módulos es tal que se tocan entre sí.

3. Superposición.
Un módulo se coloca encima de otro.

4. Penetración.
Se introduce un módulo en el interior de otro.

5. Unión.
Los módulos se juntas para ser una unidad.

6. Sustracción.
Los dos módulos interactúan de tal modo que se quita una diferencia uno del otro.

7. Intersección.
Hay en encuentro entre los módulos cortándose entre ellos.

8. Coincidencia.
Los módulos se ajustan uno con otro concurriendo en la misma situación espacial.



2.8. Estructuras modulares bidimensionales.
1. Coordinación modular bidimensional.
Módulos simples planos.

El modulo plano es la figura elemental geométrica y orgánica que se repite y da una forma compuesta más mayor. Una red de mosaicos consta de filas y columnas y  recubre el plano o el espacio, La condición para que el recubrimiento modular sea óptimo sin dejar huecos es que los ángulos interiores de los vértices concurran formando una amplitud de 360º. Los únicos polígonos regulares que son divisores de 360º, son el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular, a saber:

A. El cuadrado: 
360º/4 =90º.   El cuadrado tiene cuatro ángulo de 90 grados, por lo tanto: 90X4=360, cierra el espacio y no deja huecos. 




  
B. El triángulo equilátero:
360º/3 = 120º. El triángulo tiene tres ángulos de120 grados, así: 120X3= 360, compacta el espacio plano sin dejar fisuras.








C. El hexágono:
360º/6 = 60º. El hexágono tiene seis ángulo de 60 grados, de modo que: 60X6= 60º, también cierra el espacio.













D. El rombo:
El rombo es una derivación del hexágono regular y también completa el espacio plano, 360º/6= 60º y  60X6=360.










E. La circunferencia:
La circunferencia es la materia prima (módulo universal) a partir de la cual se construyen los polígonos que formas mosaicos como el triangulo equilátero, cuadrado y hexágono. La traslación de la circunferencia una distancia igual a su radio, forma una red isótropa de círculos que se interseccionan entre sí, dando lugar a los polígonos base de los mosaicos.






F. El supermódulo.
La combinación de diversos módulos básicos forma una figura compleja llamada súper módulo.
        

Otro aspecto interesante de la modulación en el plano es que aparecen transformaciones como la traslación y la simetría por reflexión.




2. Coordinación modular bidimensional
Módulos compuestos planos.
Además de los módulos poligonales de una sola especie, es posible la combinación de módulos de dos o más polígonos para crear una estructura. Merecen una atención especial los mosaicos semirregulares, constituidos por más de un polígono regular y que aparecen en el mismo orden, por ejemplo: el cuadrado y el triángulo; o el mosaico formado con el hexágono más el cuadrado y el triángulo.

2.9. Estructuras modulares tridimensionales.
Coordinación modular tridimensional.

Podríamos hacer una diferencia entre la figura, la forma y la estructura.

A. La forma.
La forma es tridimensional, 3D. Es el aspecto tridimensional exterior de  materia. Las formas al proyectarse sobre los planos nos dan una imagen, ahora bien las formas pueden tener diversas imágenes proyectadas dependiendo de su posición, que equivale a diversos aspectos de la forma o figuras.
  
Forma de un hexaedro y forma de un tetraedro

B. La imagen.
La imagen es el efecto proyectivo de una forma, sobre una superficie, dando lugar a una figura.
Cada imagen es una figura. La imagen de un tetraedro puede ser un triángulo y la imagen de un hexaedro puede ser un cuadrado.


     
     
C. La figura.
La figura es bidimensional, 2D. Es un aspecto de la forma.
Puede haber múltiples figuras para una forma. Por ejemplo en las proyecciones diédricas del tetraedro y hexaedro: las figuras que puede tener un tetraedro pueden ser un triángulo equilátero, un cuadrado y un trapecio; y las figuras de un hexaedro pueden corresponder a un cuadrado, un rectángulo, y un hexágono regular.

D. Estructuras.
La estructura son las formas organizadas, creadas o construidas con otras formas.
Es la repetición de un modulo bidimensional o tridimensional.

El módulo plano se puede componer sobre una red plana y combinarlo formando una estructura bidimensional. Si trasladamos este proceso a una realidad tridimensional, un módulo espacial se establece una  red volumétrica.

Una red modular tridimensional utiliza poliedros que puedan encajar entre ellos sin dejar espacios huecos. Los poliedros que cumplen estas características son fundamentalmente, el hexaedro, y los prismas.
Un módulo volumétrico puede subdividirse en submódulos al descomponerlo, o agregarse en supermódulos.
Trabajar en artes visuales con módulos en relieve, permite una rotación del espectador desde otros puntos de vista y una modificación del conjunto dependiendo de la iluminación que reciba. Por ejemplo en la escultura de Alfaro, Oteiza,…

1. Módulos simples tridimensionales.
La propiedad de rellenar el espacio plano es más sencilla, en cambio para hacer lo mismo con el espacio sólo el cubo o hexaedro, el poliedro de caras iguales cuadradas cumple con tal propiedad.

A. El cubo
La proyección tridimensional del cuadrado es el hexaedro. Como podemos comprobar el hexaedro tiene ángulos de 90º,  y es divisor de 360º, por consiguiente compacta el espacio.





 








B. El prisma.
El rectángulo produce prismas paralelepípedos, que al formar ángulos de 90º , igual que el cubo rellena el espacio. Ortoedros y  hexarromboedros, también pavimentan el espacio.




 
Además de los módulos tridimensionales de una sola especie, es posible la combinación de módulos tridimensionales de dos o más polígonos para crear una estructura espacial. Por ejemplo la yuxtaposición del  hexágono más el rectángulo, da el prisma de base hexagonal, varios prismas se juntan sin dejar espacios libres.
            

Los poliedros no regulares que pueden rellenar el espacio por repetición de sí mismos son:
1.- Cuboctaedro.
2.- Octaedro truncado, tetracaidecaedro, o poliedro de Lord Kelvin.
3.- Rombododecaedro, o dodecaedro rómbico.

C.  Cuboctaedro.
El Cuboctaedro, es un poliedro de  Arquímedes, que se obtiene truncado cada vértice de un cubo, donde se obtienen caras con forma triangular más el cuadrado. Los cuboctaedros unidos comprimen el espacio sin dejar espacios vacíos.





     
Los cuboctaedros, 8 triángulos equiláteros y 6 cuadrados, rellena el espacio.


D. Octaedro truncado, tetracaidecaedro, o poliedro de Lord Kelvin.
El Octaedro truncado, una variedad del cuboctaedro, se obtiene truncado los vértices de un octaedro regular. Formado por ocho hexágonos más seis cuadrado, y que procede del octaedro. Recibe también el nombre de tetracaidecaedro, o poliedro de Lord Kelvin, compacta el espacio por repetición de sí mismo.




El poliedro de Lord Kelvin, 8 caras hexagonales y 6 cuadrados, compacta el espacio.

E. Rombododecaedro, o dodecaedro rómbico.
El rombo produce uno de los  poliedros de Catalan, que también cierra el espacio sin dejar huecos, llamado
rombododecaedro, o dodecaedro rómbico, formado por doce rombos iguales. Es otro poliedro que llena el espacio, por clonación de sí mismo. Su génesis se debe al cubo; si dividimos el cubo en seis diagonales obtenemos seis pirámides de bases cuadradas y caras triangulares. A cada cara de un cubo se le pueden pegar esas seis pirámides, el resultado es un rombododecaedro.



           
El rombododecaedro, o dodecaedro rómbico, formado por doce rombos, llena el espacio sin huecos.



2. Módulos compuestos tridimensionales.
Existen otros módulos tridimensionales que compactan el espacio pero combinados de dos en dos.
Los poliedros que llena el espacio por combinación en pareja son la superposición del tetraedro más el octaedro. Los ángulos diedros suman también 360º.
  


       

Otras posibilidades es la combinación de poliedros, si unimos varios poliedros como:

A. Cuboctaedro y octaedro
La combinación de cuboctaedro más octaedro, su superposición llena el espacio





B. Cubo truncado u octaedro.
También completa el espacio la superposición del cubo truncado  más el octaedro.




       


          
2.10. El Mosaico.
El mosaico es el recubrimiento compacto del plano mediante piezas llamadas teselas o baldosas. La composición puede expandirse hasta el infinito. La historia del arte esta llena de ejemplos para cubrir  suelos, paredes y techos, y sus derivaciones tapices, bordados, alfombras,… La dinastía nazarita de,  Muhammad ibn – Ahmar Ibn Nasr, produjo bellos alicatados en la Alhambra de Granada: del àrabe, Al- qata´a, la pieza El estudio de los mosaicos nazaríes de la Sala de la Barca de la Alhambra de Granada, es una fuente de información al módulo, el mosaicos y las simetría de primera magnitud. Los nombres de las piezas de los mosaicos nazaríes: son estrella o sino, almendrilla, zafate, candilejo y  lazo.
Los mosaicos bizantinos de Ravena, también son un buen ejemplo didáctico de mosaicos, en especial los mosaicos de San Vital, San’t Apollinaire in Clase y San’ t Apollinare Novo.




1. Mosaicos formados por una sola tesela y que sea un polígono regular.
La clave para formar un mosaico es que la suma de los ángulos de cada vértice sea una circunferencia de 360º.
Los divisores de 360º , que forma el círculo son 3, 4, y 6. De esta forma sólo hay tres polígonos regulares que compactan el espacio: el cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono regular.

A. El cuadrado.




B. El triángulo equilátero.




C. El hexágono regular.





2. Mosaicos formados por dos  tesela y que sean polígonos regulares.
Además de las posibilidades anteriores se pueden crear mosaicos formados por más de un polígono regular o también llamados los semirregulares. Hay ocho mosaicos semirregulares:

E.  Triángulo y hexágono.

F. Octógono y cuadrado.

G. Dodecágono y triángulo

H. Hexágono, cuadrado y triángulo.

I. Hexágono, cuadrado y dodecágono

J. Cuadrado y triángulo

K. Hexágono y triángulo

L. Cuadrado y triángulo



3. Polígonos no regulares que rellenan el plano.
Los polígonos no regulares que también llenan el espacio plano sería cualquier triángulo con su simétrico que formaría un paralelogramo cubriría el plano. De igual forma ocurre con los rectángulos y los rombos. Los paralelogramos pavimentan el plano por traslación. Es el llamado teselado periódico, cuando es posible encontrar un patrón de repetición a distancias constantes, copiando el paralelogramo, trasladándolo y pegándolo.
Existen hexágonos y pentágonos irregulares que si rellenan el espacio, como la conocida teselación del Cairo, con un pentágono muy particular, un pentágono con forma de casa.

4. Mosaicos por deformaciones de los polígonos.
Los movimientos a los que están sujetos los mosaicos son: la traslación, el giro y las simetrías.
Si partimos de un polígono regular como el cuadrado y eliminamos una parte, añadiéndola en el lado contraria con una traslación, el cuadrado origen sufre una deformación pero sigue formando un mosaico. Las deformaciones pueden ser más complejas pero la propiedad de cubrir el espacio plano se mantiene. Los movimientos a los que puede estar sometido el módulo original pueden ser traslaciones o rotaciones. Los mosaicos nazaríes que se realizaron en la Alhambra de Granada, siguen estos patrones.


 





La Alhambra de Granada posee mosaicos derivados de la descomposición del cuadrado. El hueso nazarí, es la deformación de un cuadrado base. El avión o pájaro volador es un giro de 90 º del rectángulo original. La pajarita nazarí, es la deformación del triángulo equilátero, y luego sujeto asimetrías y giros.





Alhambra de Granada. Hueso nazarí.

                                             
Alhambra de Granada. El avión nazarí 







Alhambra de Granada. Mosaicos del avión




Alhambra de Granada. La pajarita nazarita



Mosaico de la punta de flecha. Alambra de Granada



Las aportaciones al mundo de los mosaicos del pintor holandés M. C. Escher son destacables, toma como basé los mosaicos de la Alhambra y deforma la tesela original para transformarla en animales, objetos o personas. Posteriormente les aplica transformaciones como la homotecia, la traslación, el giro y la simetría.
En el siglo XX, el matemático Roger Penrose, rellenó el espacio plano con los mosaicos que se expanden de forma  no periódica hasta infinito, estos mosaicos llevan su nombre. Los teselados de Penrose se han encontrado en patrones de átomos de los cuasicristales. A estos teselados se les ha llamado aperiódicos porque no permiten encontrar un patrón de repetición a distancias constantes por traslación.


3. Estructuras modulares artificiales. Aplicaciones en el arte.
Ejemplos de estructures modulares artificiales

Los módulos tanto bidimensionales o tridimensionales se han empleado en la arquitectura, el arte, el diseño, la decoración, la tecnología,… con diferentes funciones, pueden tener un propósito constructivo y también un fin decorativo. Algunos ejemplos significativos serían los siguientes.

En el Egipto Antiguo la tumba de Inherka un techo decorado con espirales y el sagrado buey Apis, antecedente de las representaciones micénicas y corintias. El pavimento de mosaicos tiene sus antecedentes en Egipto.

Los órdenes arquitectónicos de Grecia como el dórico, jónico y corintio son buenos ejemplos de módulos.
El orden dórico tiene una columna con una altura de 12 a 14 módulos, el módulo era el radio inferior de la columna, y si tomamos el diámetro será la mitad, o de 6 a 7 veces la altura . Un ejemplo que merece citarse es el Partenón. El orden jónico tiene una columna con una altura entre 16 y 17 módulos, de la misma forma el módulo es diámetro de la base. Una obra con este orden es el templo de la Atenea Victoriosa o Atenea Niké, en la Acrópolis de Atenas.  El orden corintio tienen una columna más esbelta que los anteriores, el fuste tiene una proporción de 19 a 20 módulos, un monumento construido con este orden es el templete redondo de Lisicrates en Atenas.
El mosaico es una construcción geométrica para recubrir el plano, sin dejar huecos, con una clase de polígonos o de diversas clases. Las manifestaciones de mosaicos más sobresalientes son: el mosaico romano, el bizantino y el musulmán.
El mosaico de la época romana, realizado con teselas cúbicas, con pasta de vidrio. El arte musulmán nos dejó en la península ibérica buenos ejemplos de composiciones modulares como los mosaicos nazarítas de la Alhambra de Granada, en concreto la Sala de la Barca, son magníficos ejemplos de mosaicos abstractos con módulos imaginativos, donde se mezcla la geometría, la matemática y la estética. El mundo hispano musulmán utilizó con profusión el  mosaico por motivos religiosos como en la mezquita de Córdoba, los Alcázares de Sevilla, o a decoración externa de la Giralda de Sevilla.




Otra ciudad fundamental en arte del mosaico es Ravenna, capital del Imperio Romano de Occidente. De su pasado conserva mosaicos como los del Mausoleo de Galla Placidia, la basílica de San Apolinar en Classe y San Apolinar Nova. Los mosaicos bizantinos se extendieron a Venecia como el pavimento de la Basílica de San Marcos.
El arte mudéjar nos dejó creativas decoraciones en las fachadas donde el módulo era el ladrillo visto.  Estas ideas estéticas de la decoración mudéjar fueron recogidas por arquitectos como Antoni Gaudí. En la finca Güell de Barcelona, Gaudí utiliza motivos modulares en la decoración superficial, así como en la casa Batlló en las escamas del dragón de la cobertura y el “trencadís” en el Parc Güell.

El mosaico se trasladó a las vidrieras románicas, góticas o del modernismo utilizando el módulo con en el vidrio de color.

Las pinturas sobre cerámicas, pueden aplicar un motivo geométrico modular que se utiliza como patrón para decorar los recipientes, como la cerámica hispánica de Talavera, Manises,…

Otros arquitectos que han seguido la línea de un módulo como base en las obras son: Rafael Moneo en el museo de arte de Mérida y Santiago Calatrava, en la Ciudad de las Artes y las Ciencias de Valencia. En arquitectura el módulos sirve como estructura y decoración del edificio, por ejemplo rascacielos como: el Southeast Financial Center de Miami, Florida. 1983. Rascacielos, en Korea como el World Trade Center de Seúl, 1988.
El Banco de China en Hong Kong, 1989.  En Barcelona el módulo se aplicó en urbanismo como L’ Eixample, o el  Ensanche de la ciudad proyectado por del arquitecto Ildefons Cerdà, consta de manzanas en retícula.

Entre la arquitectura y la ingeniería son conocidas las modulaciones de: la cubierta del British Museum en Londres. El cristal ha sido para muchos rascacielos un módulo externo visible. La placa rectangular del cristal se ha utilizado en la escuela de Chicago. Las cúpulas geodésicas de  Richard Bukminster Fuller, arquitecto norteamericano célebre por su  cúpula de Montreal 1967.

En el hogar cotidiano los módulos están presentes en: las esponjas para limpiar en las cocinas, las placas solares, para extraer energía, el juego del Lego, el tablero de ajedrez y damas,  los cristales de invernaderos, las persianas, las rejas y los cerramientos exteriores.  La industria textil, aplica el rapport a las alfombras que son como vidrieras en tela. Rapoort es una palabra del inglés, que se refiere a un paralelogramo fundamental del diseño de la industria textil, como el diseño de moda, telas, visillos y alfombras. El rapport es un dibujo que repetido encaja con otros dentro de un paralelogramo.

La era digital también nos ha dejado un mosaico el píxel. Mosaico de píxeles en la fotografía digital.
La tecnología también aplica el módulo en la mejora óptima de la óptica como en las facetas de un telescopio  o un horno solar con diferentes espejos.

El diseño gráfico, es otra de las artes visuales que utiliza como la decoración en papelería y los papeles pintados, de módulos. Dentro de las artesanías como la del mimbre, el punto, el bordado, las alfombras,… se han dado abundantes y excepcionales composiciones realizadas con módulos.

La decoración es otro campo de estudio como las rejillas para realizar módulos en mobiliarios; y decoraciones de ventanas, balcones, cenefas,…

El mobiliario es una variante de la artesanía que con los muebles modulares, se relaciona directamente con el módulo.  El tatami es un sistema modular del Japón, basado en las dimensiones humanas: 90 X 180 cm..
Módulo de un doble cuadrado,  que se utilitza en el  habitat. Las esteras de tatami, determinan el módulo para determinar las proporciones y el espacio funcional de les habitaciones de la casa japonesa.



Resumen
Módulos y redes.
Relación entre la estructura y la proporción
en la creación de formas bidimensionales y tridimensionales.

.
1. Módulos y redes. concepto.
En artes visuales, se entiende que es una dimensión que se toma como unidad de medida, norma, modelo o patrón La acepción más conocida es como parte de un todo que se utiliza como unidad en una construcción, para establecer las dimensiones y proporciones de un conjunto. Otra acepción en artes visuales es que el módulo es la forma elemental que se repite múltiples veces y llega a llenar el espacio bidimensional o tridimensional.

1.2. Concepto de estructura.
Un módulo es la unidad más pequeña que organiza una estructura. El módulo es el elemento que estructura la forma.

1.3. El canon.
El  “canon” es regla, medida y modelo es equiparable al módulo en arquitectura, y regula todas las partes de la obra.  El canon de los antiguos egipcios, el módulo era tomado de la anchura de la mano, el brazo, el puño cerrado, y el codo. El cuerpo humano se representaba con un módulo de 18 a 21 puños dependiendo de la época. El canon de los escultores griegos del siglo V a. C., fue el influyente canon de Policleto que se tomaba la cabeza humana y estaba contenida unas siete veces y media dentro del cuerpo. Posteriormente este módulo se amplio a ocho cabezas con Lisipo en la estatua Apoxiomeno; y ocho y media con el artista Leócares en su obra el Apolo del Belvedere.

1. Canon de perfil de los antiguos egipcios.
2. El canon de los escultores griegos del siglo V a. C.


1.4. Concepto de red.
La red es un conjunto estructurado de módulos y conectados entre sí, con un patrón característico.
La red permite superponer, organizar, circular, o componer elementos o formas. Es la manera más sencilla de dividir el espacio con una regularidad, por ejemplo con estructuras de polígonos, como un papel milimetrado o isométrico.

1. Redes planas.
Dentro del campo del dibujo es un buen ejemplo de red, el papel milimetrado y el papel isométrico que proporcionan una base gráfica para componer dibujos.

2. Redes espaciales.
La proyección tridimensional de las redes planas se transforman en redes tridimensionales.

1.5. La malla.
En una tipología en malla cada nodo tiene una conexión con todos  los nodos de la red, además la malla es una red que no deja espacios huecos en su estructura.

1. Redes y mallas.
Las redes y mallas pueden ser simples, cuando su estructura consta de un solo polígono y compuestas, cuando están formadas por dos o más polígonos

1.6. Módulos,  mosaicos y redes en la naturaleza.
En la naturaleza podemos encontrar estructuras modulares naturales Hay múltiples ejemplos en el mundo orgánico e inorgánico. La naturaleza que es la mejor constructora utiliza con frecuencia módulos y estructuras modulares. El ejemplo más paradigmático son las celdas hexagonales de los panales de las abejas. Existen módulos en el mundo orgánico como los granos de maíz en la mazorca de maíz; y módulos inorgánicos como las redes de los minerales.

Estructuras modulares naturales
Mundo orgánico e inorgánico
1. Módulos en el mundo orgánico
2. Módulos en el mundo inorgánico.

1.7. Estrategias de composición modular.
Cuando se realiza una composición modular es posible crear mayor interés visual con algunas estrategias como:

1. La tensión.
La tensión se puede agudizar si el módulo es irregular o curvado.

2. Los submódulos y súper módulos.
La combinación de diversos módulos básicos o submódulos forman una figura más compleja llamada súper módulo.

3. Diferente forma, color, textura.
El color, forma y texturas diversa pueden dar un interés visual a la composición.

4. Combinaciones.
Los módulos se pueden combinar para añadir interés y crear ritmo en la composición.

5. Distorsiones.
El módulo se puede distorsionar mediante las transformaciones geométricas.

6. Ambigüedad figura – fondo.
Trabajar la ambigüedad de la figura y fondo da resultados interesantes para jugar con la percepción.

7. Mezcla de redes.
La combinación de redes de diferentes tipos proporcionan resultados poco comunes que atraen la atención al espectador.

1.8. Aplicaciones de la teoría modular en las artes visuales.
Los  movimiento artístico como el Op Art, utiliza submódulos para dar impresión de tridimensionalidad sobre la superficie plana. Otros artistas que utilizan módulos son: Víctor Vasarely, Maurits Cornelis Escher y Piet Mondrian

2. Relaciones entre la estructura y la proporción en la creación de formas bidimensionales y tridimensionales.
La proporción es la relación que hay entre las parte y el todo. Al establecer correspondencias y comparaciones con los módulos la percepción casi de forma intuitiva nos informa de su armonía..

2.1. La razón.
La razón es la comparación de dos cantidades.
La razón entre dos segmentos es el vínculo que existe entre ellos, como se relacionan por ejemplo 2/1 = 2.

2.2. La proporción.
La proporción es una relación entre razones, es una combinación o correlación entre dos o más razones, por ejemplo expresado de modo matemático:
2/1 = 4/2 = 8/4 = 16/8 = 32/16 . Dicho de otro modo es una conservación de la razón.     

A. La igualdad.
B. Semejanza, homotecia y escala.
C. La proporción áurea.
Número áureo, o número de oro, es la razón de proporción  Ф = 0,618,… ∞ 
El número de oro que se ha utilizado en las composiciones de las obras artísticas.
El rectángulo áureo y el  número de oro Φ . Una de las formas más utilizadas para encontrar la proporción áurea y el número de oro es construirla a partir del rectángulo áureo.

2.3. Rectángulos irracionales.
El módulo elemental es el cuadrado donde la  razón entre sus lados es 1/1 = 1.
La diagonal del cuadrado vale  √ 2, si abatimos la diagonal sobre la base del cuadrado y lo ampliamos se obtiene un rectángulo denominado √ 2   = 1,4142135,... ∞, a partir de este se obtienen una serie de rectángulos irracionales como  √ 3,  √ 4. √ 5,…  Un rectángulo irracional es aquel que tiene como razón un número irracional.

2.4. Proporción cordobesa, el rectángulo 4/3.
La proporción cordobesa es propia de un rectángulo donde la razón de sus lados es 1,3. Rectángulo 4/3, relación entre el radio y lado de un octágono.

2.5. Le Modulor de Le Corbusier.
Le Corbusier creó Le Modular, de 1949, fue creado para ser un sistema de medidas, para la normalización e industrialización. Se construyócon base a la medida humana, tomando como base la progresión de Fibonacci y de la sección áurea. Se parte de un ser humano-modulo de 1,83 metros (6 pies) donde esta presente la sección áurea 1,83 = 0,70 + 1,13, de donde se deducen otras proporciones

2.6. Las simetrías.
La simetría suele tener dos acepciones, una es la de proporción y equilibrio; otra la relación entre las parte que integran un todo. Una módulo contenido en un plano puede cambiar de posición por diferentes movimientos, dando lugar a simetrías que serían las siguientes: traslación, reflexión, giro, desplazamiento e identidad.

1. Traslación.
2. Reflexión.
3. Giro.
4. Desplazamiento.
5. Identidad.

2.7. Interacciones formales.
Los módulos al estar unidos tienen una influencia recíproca. Estas interacciones pueden ser:
1. Distanciamiento.
2. Toque. Contacto.
3. Superposición.
4. Penetración.
5. Unión.
6. Sustracción.
7. Intersección.
8. Coincidencia.

2.8. Estructuras modulares bidimensionales.
1. Coordinación modular bidimensional.
Ejemplos de Estructures modulares artificiales
Los módulos tanto bidimensionales o tridimensionales se han empleado en la tecnología con diferentes funciones, pueden tener un propósito constructivo y también un fin decorativo. Algunos ejemplos significativos serían los siguientes, el Partenón, los mosaicos romanos, el mosaico bizantino, la Alhambra de Granada, el arte mudéjar, y  la arquitectura modernista de Antonio Gaudí.

Módulos simples planos.
El modulo plano es la figura elemental geométrica y orgánica que se repite y da una forma compuesta más grande. Los únicos polígonos regulares que son divisores de 360º, son el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono, todos ellos pavimentan el plano.

A. El cuadrado:  
B. El triángulo equilátero:
C. El hexágono:
D. El rombo:
E. La circunferencia:
F. El supermódulo.
La combinación de diversos módulos básicos forma una figura compleja llamada súper módulo.        

2. Coordinación modular bidimensional
Módulos compuestos planos.
Además de los módulos poligonales de una sola especie, es posible la combinación de módulos de dos o más polígonos para crear una estructura, como los mosaicos semirregulares.

2.9. Estructuras modulares tridimensionales.
Coordinación modular tridimensional
A. La forma.
B. La imagen.
C. La figura.
D. Estructuras.
1. Módulos simples tridimensionales.
La propiedad de rellenar el espacio plano es más sencilla, en cambio es más difícil para hacer lo mismo con el espacio tridimensional; sólo el cubo, es el poliedro de caras iguales que cumple con tal propiedad.

A. El cubo
La versión tridimensional del cuadrado es el cubo, o hexaedro. Rellena el espacio sin dejar huecos.

B. El prisma.
El rectángulo produce prismas paralelepípedos, que al formar ángulos de 90º que también pavimentan el espacio.

C. Cuboctaedro.
D. Octaedro truncado, tetracaidecaedro, o poliedro de Lord Kelvin.
E. Rombododecaedro, o dodecaedro rómbico.

2. Módulos compuestos tridimensionales.
Otros módulos tridimensionales que compactan el espacio pero combinados de dos en dos son:
El cuboctaedro más el octaedro, su superposición llena el espacio, es la superposición del cubo truncado  más el octaedro
A. Cuboctaedro y octaedro
B. Cubo truncado u octaedro.

2.10. El Mosaico.
El mosaico es el recubrimiento compacto del plano mediante piezas llamadas teselas o baldosas. La composición puede expandirse hasta el infinito.

1. Mosaicos formados por una sola tesela y que sea un polígono regular.
La clave para formar un mosaico es que la suma de los ángulos de cada vértice sea una circunferencia de 360º.
Los divisores de 360º , que forma el círculo son 3, 4, y 6. De esta forma sólo hay tres polígonos regulares que compactan el espacio plano: el cuadrado, el triángulo equilátero y el hexágono.

A. El cuadrado.          
B. El triángulo equilátero.
C. El hexágono regular.

2. Mosaicos formados por dos teselas y que sean polígonos regulares.
Son mosaicos formados por más de un polígono regular o semirregulares.
Hay ocho mosaicos semirregulares: 1.- Triángulo y hexágono. 2.- Octógono y cuadrado. 3.- Dodecágono y triángulo.  4.- Hexágono, cuadrado y triángulo. 5.- Hexágono, cuadrado y dodecágono. 6.- Cuadrado y triángulo 7.- Hexágono y triángulo. 8.- Cuadrado y triángulo.
Se pueden formar mosaicos con polígonos no regulares que rellenan el plano; y mosaicos deformando polígonos.

E.  Triángulo y hexágono.
F. Octógono y cuadrado.
G. Dodecágono y triángulo
H. Hexágono, cuadrado y triángulo.
I. Hexágono, cuadrado y dodecágono
J. Cuadrado y triángulo
K. Hexágono y triángulo
L. Cuadrado y triángulo

3. Polígonos no regulares que rellenan el plano.
4. Mosaicos por deformaciones de los polígonos.

3. Estructuras modulares artificiales. Aplicaciones en el arte.
Ejemplos de estructures modulares artificiales



Bibliografía.

Arnheim, Rudolf. 1984. Arte y percepción visual. Alianza Editorial. Colección Alianza Forma. Madrid.

Dondis. D.A. La sintaxis de la imagen. Editorial Gustavo Gili.

Fundación Caixa de Pensións.1988. Fascinat Simetría. Museo de la Ciència de Barcelona.. Fundació Caixa de Pensions.

Le Corbusier. 1979. El modulor. Editorial Poseidón. Barcelona.

Munari, Bruno. 1980. El arte como oficio.  Nueva Colección Labor. Barcelona.

Munari, Bruno. 1973. Diseño y comunicación visual, contribución a una metodología didáctica. Editorial Gustavo Gili.

Scott, Robert Gillam. 1974. Fundamentos del diseño. Editorial Víctor Lerú.

Wolf, K.L. 1977. Forma y simetría. Eudeba.

Wong, Wucius. 1979. Fundamentos del diseño bi y tridimensional. Editorial Gustavo Gili.


Bibliografía comentada.

Arnheim, Rudolf. 1984. Arte y percepción visual. Alianza Editorial. Colección Alianza Forma. Madrid.
Un manual clásico sobre percepción muy recomendable.

Dondis. D.A. La sintaxis de la imagen. Editorial Gustavo Gili.
Libro clásico sobre sintaxis de la imagen que explica todos los principios de la organización y composición en artes visuales.

Wong, Wucius. 1979. Fundamentos del diseño bi y tridimensional. Editorial Gustavo Gili.
Buen manual que trata de los principio del diseño con formas planas y abstractas, incorporando el vocabulario propio de la materia.




































2 comentarios:

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  2. Excelente trabajo, muy útil para los que nos dedicamos al diseño, felicidades.

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